Kompleksianalyysin tutkimusryhmä

Kompleksianalyysi eli funktioteoria on matematiikan ala, joka käsittelee analyyttisiä tai meromorfisia funktiota, integrointia ja kuvauksia kompleksitasossa tai sen osajoukoissa.

KESKEISIÄ TUTKIMUSAIHEITA

Arvojenjakautumisteoria

Nevanlinna teoria (tai arvojenjakautumisteoria) käsittelee meromorfisten funktioden kasvua ja arvojen jakautumista. Yksi tämän teorian keskeisistä tuloksista on toinen päälause, joka on syvällinen Picardin lauseen yleistys ja tarkennus. Nevanlinnan teorialle analoginen teorian perusrakenne esiintyy monilla matematiikan aloilla, kuten esimerkiksi p-adisessa funktioteoriassa, minimaalipinnoissa ja jopa Brownin liikettä käsittelevässä teoriassa. Osgoodin ja Vojtan mukaan Nevanlinnan toinen päälause vastaa lukuteorian ABC konjektuuria, joka puolestaan implikoi Fermat:n suuren lauseen asymptoottisen version. Mielenkiintoinen analogia on myös Halburdin ja Southallin esittelemä ns. Trooppinen Nevanlinnan teoria, joka käsittelee paloittain lineaarisia funktioita määriteltyinä max-plus puolirenkaan yli. Nevanlinnan teorian sovellukset löytyvät pääasiassa toisilta matematiikan osa-alueilta, kuten differentiaali- ja funktionaaliyhtälöiden oskilloinnista, tai matematiikkaa sivuavilta aloilta, kuten matemaattisesta fysiikasta.

Operaattoriteoria ja funktioavaruudet

Operaattoriteorian tutkimus keskittyy konkreettisten operaattoreiden, kuten Bergmanin projektion sekä Toeplitz-, Hilbert-, integraali- ja kompositio-operaattoreiden, tutkimukseen yksikkökiekon funktioavaruuksissa harmonista ja funktionaalianalyysiä hyödyntäen. Funktioavaruuksissa pääpaino on pienissä Bergmanin avaruuksissa, joiden harmonisella analyysillä on samankaltaisuuksia Hardy-avaruuksien harmonisen analyysin kanssa ja on näin ollen standardeihin Bergmanin avaruuksiin verrattuna haastavampaa.

Differentiaaliyhtälöt

Kompleksisten differentiaaliyhtälöiden tutkimus on muodostunut laajan kansainvälisen yhteistyön kohteeksi. Tutkimuksen eräänä lähtökohtana on ollut ratkaisujen kasvuominaisuuksien selvittäminen kompleksitason tapauksessa, josta on edetty tarkastelemaan vastaavia ongelmia yksikkökiekossa. Joensuun tutkimusryhmän eräs vahvuuksista on ollut kompleksisten funktioavaruuksien soveltaminen differentiaaliyhtälöiden teoriaan.

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen kasvuominaisuuksien lisäksi tutkitaan myös ratkaisujen oskillaatiota. Esimerkiksi yksikkökiekon tapauksessa oskillaatiota koskeva tutkimustyö yhdistää mielenkiintoisella tavalla meromorfisten funktioiden arvojenjakautumisoppia, funktioavaruuksien teoriaa, univalenttien funktioiden teoriaa, interpolointia ja epäeuklidista geometriaa. Eräs oskillaatiotutkimuksen pääongelmista on selvittää ratkaisufunktioiden nollakohtien geometrinen jakauma.

Muutaman vuoden kestäneen hiljaisemman vaiheen jälkeen kompleksisten differentiaaliyhtälöiden tutkimus tason tapauksessa on lähtenyt uuteen nousuun. Tutkimuksen kohteena ovat nyt mm. erikoisratkaisut kanonisten tulojen ja käyräintegraalien avulla, sekä ratkaisujen oskilloinnin selvittäminen kerroinfunktioiden ollessa eksponenttipolynomeja. Myös tapaukset, joissa kerroinfunktiot ovat erikoisfunktioita, ovat viime aikoina herättäneet kiinnostusta.

KOMPLEKSIANALYYSIN TUTKIJAT

Nimi: Tehtävä:
Janne Gröhn yliopistonlehtori
Juha-Matti Huusko tutkijatohtori
Janne Heittokangas apulaisprofessori
Risto Korhonen  professori
Taneli Korhonen nuorempi tutkija
Pekka Kosunen nuorempi tutkija
Antti Käenmäki yliopistotutkija
Ilpo Laine  emeritusprofessori
Bin Liu nuorempi tutkija
Jouni Rättyä  professori
Toni Vesikko nuorempi tutkija
Amine Zemirni nuorempi tutkija