Matematiikan olemus ja tutkimus
Mitä matematiikka on?
Matematiikkaa on sanottu sekä tieteiden kuningattareksi että tieteiden palvelijaksi. Kuningattarena olo on luonnollisesti hohdokkaampaa kuin palveleminen, mutta kiinnostavaa on, että molemmissa vertauksissa matematiikka mielletään jollain tavalla tieteen ulkopuoliseksi. Tieteen filosofiakin tavallaan tukee tätä näkemystä: vaikka tieteen filosofiassa on esitetty hyvinkin erilaisia näkemyksiä tieteen syvimmästä olemuksesta, niin yleisesti ottaen ne tuntuvat sopivan varsin huonosti matematiikkaan. Esimerkiksi Popperin ajattelussa tieteen eräs keskeinen kriteeri on, että jokin esitetty teoria pitäisi olla kumottavissajonkin (todellisen tai kuvitellun) kokeen avulla. Tämän kriteerin perusteella matematiikkaa ei voi pitää tieteenä; matematiikan väitteiden todistaminen tai niiden osoittaminen vääräksi ei vastaa Popperin kuvausta tieteen tekemisestä.
Mutta miten matematiikkaa voisi sitten luonnehtia? Tunnetuimmat yritykset vastata tähän ovat platonismi ja formalismi. Platonismin mukaan matemaattiset oliot (kuten luvut, funktiot, differentiaaliyhtälöt…) ovat olemassa jossain ihmisistä riippumatta, eräänlaisessa virtuaalitodellisuudessa. Matemaatikko ei siis loisi uusia käsitteitä ja teorioita, vaan hän löytäisi niitä, kuten biologi uusia kasveja. Tämä näkemys on siinä mielessä ymmärrettävää (ainakin matemaatikon kannalta ja monet kuuluisista matemaatikoista ovatkinplatonisteja), että kun vuosikausia pohtii matematiikan kysymyksiä, niin etenkin omaan erikoisalaan kasvaa eräänlainen intuitio, jonka puitteissa matematiikan käsitteet alkavat tuntua hyvinkin konkreettisilta ja jokapäiväisiltä.
Toisaalta on myös helppo kritisoida tätä näkemystä. Esimerkiksi useilla ihmisillä on jonkinlainen käsitys yksisarvisesta, mutta luulisin, että kovinkaan moni matemaatikko ei ilahtuisi jos yksisarvisen olemassaolo rinnastettaisiin differentiaaliyhtälön olemassa oloon. Lisäksi vaikkapa funktion käsite on muuttunut varsin paljon historiallisesti: 1700-luvulla tällä sanalla oli eri merkitys kuin nykyisin. Tätä on vaikea suhteuttaa siihen, että käsitteitten pitäisi pysyä muuttumattomina, jos ne kerran ovat olemassa ihimisistä riippumatta. Ongelmallista on myös selittää miten tästä virtuaalitodellisuudesta voi saada mitään tietoa. Yhteyden saaminen ei olekaan helppoa ja tätä matemaatikon ikuista kamppailua kuvataan osuvasti Mariskan kappaleessa ”Matematiikkaa”:'
kakskyt neljä seitsemän yhtälöitä ratkon'
yöllä unissa,aamulla kun herään
erään kerran mä luulen että vastauksen löydän
tarkistettaessa laskuvirheen huomaan
miten ikinä pystyn tästä selvää saada
ja täydellisen ratkaisumallin luomaan
Platonismin jonkinlainen vastakohta on formalismi: siinä ajatellaan, että matematiikka on eräänlaista peliä. On annettu joukko symboleja joista voidaan muodostaa (luvallisia) merkkijonoja. Näitä merkkijonoja voidaan edelleen tiettyjen (päättely)sääntojen avulla muokata, jolloin saadaan uusia (luvallisia) merkkijonoja. Tämä ajattelutapa ratkaisee platonismin ongelmat siinä mielessä, ettei mihinkään käsitteitten olemassaoloon tarvitse edes ottaa kantaa. Valitettavasti matematiikalta katoaa samalla sen merkitys, ja formalismin puitteissa olisikin vaikea ymmärtää miksi matematiikkaa kukaan olisi koskaan ruvennut tutkimaan. Yhteenvetona voisi sanoa, että platonismi on intuitiivisesti oikeansuuntainen, mutta loogisesti ristiriitainen, kun taas formalismi on loogisesti pitävä, mutta intuitiivisesti järjetön.Onneksi tällä epätyydyttävällä johtopäätöksellä ei ole ollut (negatiivista) vaikutusta matematiikan tutkimukseen!'
Matematiikan tutkimus
Maallikoiden on usein vaikea mieltää miten uusia tuloksia matematiikassa syntyy. Tässä mielessä siis monet tuntuvat olevan platonisteja ajatellessaan, että matematiikka muodostaa yhtenäisen rakennelman joka pysyy samana vuosisadasta toiseen.Uusia tuloksia kuitenkin syntyy koko ajan ja silloin tällöin jopa valtamediassa raportoidaan jonkin kauan auki olleen ongelman ratkaisusta.
Mutta miten matematiikan tutkimusongelmat syntyvät? Tähän on kaksi hyvinkin erilaista mekanismia, joita voisi kutsua sisäisiksi ja ulkoisiksi syiksi. Tarkastellaan kahta esimerkkiä, jotka liittyvät Joensuun matematiikan laitoksen tutkimuksen painopistealoihin, kompleksianalyysiin ja osittaisdifferentiaaliyhtälöihin.
Opiskelija joka ensimmäistä kertaa kohtaa kompleksiluvut pitää niitä varmaankin varsin epäintuitiivisina. Samoin ajattelivat italialaiset matemaatikot kun he ”löysivät” kompleksiluvut 1500-luvulla. Tällöin keksittiin 3. ja 4. asteen polynomien ratkaisukaavat, ja huomattiin, että kaavat antavat joskus haluttuja ratkaisuja myös siinä tapauksessa, että joudutaan ottamaan neliöjuuri negatiivisesta luvusta. 1500-luvulla jopa negatiiviset luvut tuntuivat monista varsin epäilyttäviltä, joten matemaatikot olivat täysin valmistautumattomia kohtaamaan kompleksilukuja. Voisi sanoa, että matematiikan virtuaalitodellisuus yhtäkkiä laajeni täysin odottamattomaan suuntaan (samantapainen laajennus oli differentiaalilaskennan keksiminen 1600-luvun lopulla). Joka tapauksessa havaittiin, että kompleksiluvut olivat paitsi hyödyllisiä myös loogisesti välttämättömiä, joten kompleksilukujen ja -funktioitten tarkempi tutkiminen oli luonnollinen tutkimusongelma. Ongelma oli vaikea, ja kestikin aina 1800-luvulle asti ennen kuin kompleksi-luvut kunnolla ymmärrettiin. Tärkeä askel tässä oli kompleksilukujen geometrisoiminen kompleksitason avulla. Sittemmin kompleksianalyysi on osoittautunut hyödylliseksi myös monissa sovelluksissa; esimerkiksi signaalinkäsittelyssä välttämätön Fourier-analyysi perustuu kompleksianalyysiin.
Monet ”reaalimaailman” ilmiöt puolestaan johtavat (osittais)differentiaaliyhtälömalleihin, jotka edelleen tarjoavat haastavia matemaattisia ongelmia.Miksi nämä mallit ovat niin yleisiä kaikissa luonnontieteissä? Arkielämässä pidämme selvänä, että tapahtumat ovat lokaaleja sekä ajan että paikan suhteen: jos esimerkiksi näemme linnun lentävän Joensuussa, niin oletamme, että lennon analyysin kannalta on tarpeetonta tietää mitä Australiassa tapahtuu,eikä edellisen viikon säätilallakaan pitäisi olla mitään merkitystä.Toisaalta Newtonin gravitaatioteoria tuntuisi sotivan tätä lokaalisuuden vaatimusta vastaan koska kappaleet vaikuttavat toisiinsa pitkien etäisyyksien takaa. Newtonin mekaniikan mukaan avaruuden täyttää kuitenkin eetterin sijaan voimakenttä, ja kappaleitten vuorovaikutus voimakentän kanssa on lokaalia.
Koska differentiaaliyhtälöt nimenomaan kuvaavat tällaisia lokaaleja prosesseja, on luonnollista ajatella, että Newtonin mekaniikka voidaan ilmaista differentiaaliyhtälöiden avulla, ja että linnun lentoa voidaan kuvata osittaisdifferentiaaliyhtälösysteemillä, joka mallittaa linnun vuorovaikutusta ilman kanssa. Tämä pitääkin paikkaansa. Linnun tapauksessa oleellinen yhtälö on nesteen ja kaasun virtausta kuvaava Navier-Stokes-yhtälö, johon liittyvän erään ongelman ratkaisusta Clay Mathematics Institute on luvannut miljoona dollaria.
Differentiaaliyhtälöitä on yleensä mahdotonta ratkaista analyyttisesti, joten numeeristen menetelmien kehittäminen on välttämätöntä. Toisaalta tietokoneitten ja numeeristen menetelmien kehitys tekee mahdolliseksi simuloida yhä monimutkaisempia systeemejä, mikä puolestaan asettaa uusia haasteita differentiaaliyhtälöitten teoreettiselle analyysille.
Matemaatikoille riittää siis aina tutkittavaa, sekä sisäisten että ulkoisten syitten takia, koska virtuaalimaailmassa ei ole mitään rajoja. Tarvitaan ”vain” mielikuvitusta. Kerrotaan, että eräs Hilbertin oppilas hylkäsi matemaatikan ja ryhtyi runoilijaksi. Hilbert piti ratkaisua oikeana koska arveli, että oppilaalla ei ollut tarpeeksi rikasta mielikuvitusta tullakseen hyväksi matemaatikoksi.
Jukka Tuomela
Tämä kirjoitus ilmestyi Joensuun yliopiston lehdessä Ostiensis 1/2009.